Embedded Files
Question 1.
ବନ୍ଧନୀ ମଧ୍ଯରୁ ଠିକ୍ ଉତ୍ତରଟି ବାଛି ଶୂନ୍ୟସ୍ଥାନ ପୂରଣ କର ।
(i) x + y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ___________ । [(4, 5), (5, 5), (- 4, 4), (-4, 5)]
(ii) x – 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ___________ । [(4, 2), (- 4, 2), (4, – 2), (- 4, – 2)]
(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ _________ । [(0, 2), (2, 0), (- 2, 0), (0, – 2)]
(iv) x – 4y + 1 = 0 ହେଲେ x = ______ । [4y-1, 4y+1,-4y + 1, -4y – 1]
(v) 2x-y+2 = 0 ହେଲେ y = ______ । [2x – 2, 2x + 2, 2x – 2, – 2x – 2]
(vi) x-2y + 3 = 0 ହେଲେ y = ______ । [½(x + 3), – ½(x – 3), – ½(-x + 3), – ½(x + 3)]
Answer:
(i) (- 4, 4), (ii) (4, 2), (iii) (0, – 2), (iv) 4y – 1, (v) 2x + 2, (vi) 1⁄2 (x + 3)
ବ୍ୟାଖ୍ୟା ସହ ଉତ୍ତର :
(i) x + y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ (- 4, 4) । (କାରଣ -x = y or x = -y)
(ii) x – 2y = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ (4, 2) ଓ (- 4, -2) (କାରଣ x = 2y)
(iii) 2x + y + 2 = 0 ସମୀକରଣର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ (0, -2) (କାରଣ 2x = -(y+2))
(iv) x – 4y + 1 = 0 ⇒ x = 4y – 1
(v) 2x – y + 2 = 0 ⇒ 2x +2 = y ⇒ y = 2x + 2
(vi) x-2y+3 = 0 ⇒ x + 3 = 2y ⇒ y = ½(x +3)
Question 2.
ନିମ୍ନରେ ଦତ୍ତ ସହସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ିରୁ କେଉଁ ସମୀକରଣ ଯୋଡ଼ି କ୍ଷେତ୍ରରେ
(i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ
(ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ଏବଂ
(iii) ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ?
(i) x + y + 1 = 0, x – y + 1 = 0
(ii) x + y + 1 = 0, 2x + 2y + 2 = 0
(iii) x + y + 1 = 0, x + y + 3 = 0
(iv) 2x – y + 3 = 0, – 4x + 2y – 6=0
(v) 2x – y + 3 = 0, 2x + y -3 = 0
(vi) 2x – y+3 = 0, – 6x + 3y+5=0
ସମାଧାନ:
a1x+b1y+ c1 = 0 ଏବଂ a2x + b2y + c2 = 0 ସମୀକରଣରେ
(i) ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ, ଯଦି a1/a2 ≠ b1/b2 ହେବ
(ii) ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ, ଯଦି a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ହେବ ଏବଂ
(iii) ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ, ଯଦି a1/a2=b1/b2≠c1/c2 ହେବ ।
(i) ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟ
(a) x + y + 1 = 0 ଏଠାରେ a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1
(b) x – y + 1 = 0 ଏବଂ a2 = 1, b2 = – 1, c2 = 1
∴ a1/a2=1/1=1, b1/b2=1/−1=−1
ଏଠାରେ a1/a2≠ b1/b2 ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।
(ii) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ x + y + 1 = 0 ଓ 2x + 2y + 2 = 0
ଏଠାରେ a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1 ଏବଂ a2 = 2, b2 = 2, c2 = 2
∴ a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ।
(iii) ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ x + y + 1 = 0 ଓ x + y + 3 = 0
ଏଠାରେ a1 = 1, b1 = 1, c1 = 1 ଏବଂ a2 = 1, b2 = 1, c2 = 3
∴ a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 ହେତୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
(iv) 2x – y + 3 = 0 ଓ – 4x + 2y – 6 = 0
ଏଠାରେ a1 = 2, b1 = -1, c1 = 3; a2 = -4, b2 = 2, c2 = -6
∴ a1a2=b1b2=c1c2 ହେତୁ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିବ ।
(v) 2x – y + 3 = 0, 2x + y – 3 = 0
ଏଠାରେ a1 = 2, b1 = -1, c1 = 3; a2 = 2, b2 = 1, c2 = -3
∴ a1/a2≠ b1/b2 ହେତୁ ଅନନ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ।
(vi) 2x – y + 3 = 0, -6x + 3y + 5 = 0
ଏଠାରେ a1 = 2, b1 = -1, c1 = 3; a2 = -6, b2 = 3, c2 = 5
∴ a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 ହେତୁ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ ।
Question 3.
ନିମ୍ନଲିଖିତ ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକର ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ ପାଇଁ ଯେକୌଣସି ତିନିଗୋଟି ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନାଙ୍କ ନିରୂପଣ କର ।
(i) x – y = 0
(ii) x + y = 0
(iii) x – 2y = 0
(iv) x + 2y – 4 = 0
(v) x – 2y – 4 = 0
(vi) 2x – y + 4 = 0
Question 4.
ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଉତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକ ।
(i) kx + my + 4 = 0 ଓ 2x + y + 1 = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେଲେ k : m କେତେ ?
(ii) 2x + 3y – 5= 0 ଓ 7x – 6y –1= 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ (1, ß) ହେଲେ ßର ମୂଲ୍ୟ କେତେ ?
(ii) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = 0 ଅନ୍ୟ ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ?
(iv) ‘t’ ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ (1, 1), tx – 2y – 10 = 0 ର ଅନ୍ୟତମ ସମାଧାନ ହେବ ?
(v) ‘t’ର କେଉଁ ମାନ ପାଇଁ tx + 2y = 0 ଓ 3x + ty = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ?
(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 6x – 3y + 10 = 0 ଓ 2x – y + 9 = 0 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ।
(vi) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 2x + 5y = 17 ଏବଂ 5x + 3y = 14 ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗୀତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ।
(viii) ଦର୍ଶାଅ ଯେ, 3x – 5y – 10 = 0 ଏବଂ 6x – 10y = 20 ସହସମୀକରଣଦ୍ୱୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ରହିଛି
ସମାଧାନ :
(i) kx + my + 4 = 0 ଏବଂ 2x + y + 1 = 0
ସମୀକରଣଦ୍ୱୟରେ a1 = k, b1 = m, c1 = 4 ଏବଂ a2 = 2, b2 = 1, c2 = 1
ଏଠାରେ ସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ଅସଙ୍ଗତ ହେବାର ସର୍ତ୍ତ,
= ≠ ⇒ = ⇒ =
∴ ନିଶ୍ଚେୟ ଅନୁପାତ k:m = 2:1
(ii) 2x + 3y – 5 = 0 ଓ 7x – 6y – 1 = 0 ସମୀକରଣ ଦ୍ୱୟର ସମାଧାନ (1, ß)
ଏଠାରେ ‘x’ର ମାନ 1 ଓ yର ମାନ ‘B’ ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
Putting the value in Equation – 1
2(1) + 3(ß) −5 = 0 ⇒ 2 + 3ß – 5 = 0
⇒3ß – 3 = 0 ⇒ ß 3/3 = 1⇒ ß = 1
∴ ß ର ମୂଲ୍ୟ 1 ପାଇଁ ସହସମୀକରଣର ସମାଧାନ (1, ß) ହେବ ।
(iii) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = 0 ର ଏକ ସମାଧାନ (1, 1) ହେଲେ
x = 1 ଓ y = 1 ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
∴ 3(1) + t (1) – 6 = 0
⇒ 3 + t – 6 = 0
⇒ t – 3 = 0
⇒ t = 3
∴ t ର ମୂଲ୍ୟ 3 ପାଇଁ (1, 1), ସମୀକରଣ 3x + ty – 6 = 0 ର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ।
(iv) ଦତ୍ତ ସମୀକରଣ tx – 2y – 10 = 0 ର ସମାଧାନ (1,1) ହେଲେ,
x = 1 ଓ y = 1 ପାଇଁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟ ସିଦ୍ଧ ହେବ ।
∴ t(1) – 2(1) – 10 = 0 ⇒ t – 2 – 10 = 0 ⇒ t – 12 = 0 ⇒ t = 12
∴ t ର ମାନ 12 ପାଇଁ (1, 1), ଦତ୍ତ ସମୀକରଣର ଏକ ସମାଧାନ ହେବ ।
(v) tx + 2y = 0 ଓ 3x + ty = 0
ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ସମାଧାନ ସମ୍ଭବ ହେବାର ସର୍ଭ
=
⇒ t3=2t ⇒ t² = 6 ⇒ t = ±√6
∴ t ର ମାନ ±√6 ପାଇଁ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟର ଅସଂଖ୍ୟ ମାନ ସମ୍ଭବ ।
(vi) 6x – 3y + 10 = 0 ଓ 2x – y + 9 = 0 ସମୀକରଣଦ୍ଵୟରେ
= 6, = -3, =10 ଓ = 2, = -1, =9
= = 3, = = 3, =
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ କର ଯେ, = ≠ , ତେଣୁ ସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ ଅସମ୍ଭବ
(vii) 2x + 5y = 17 ⇒ 2x + 5y – 17 = 0….. ..(1)
5x + 3y = 14 ⇒ 5x + 3y – 14 = 0………(2)
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ରୁ a1 = 2, b1 = 5, c1 = – 17 ଓ a2 = 5, b2 = 3, c2 = – 14
∴ = , = , = =
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ
∴ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ସଙ୍ଗତ ଓ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର
(viii) 3x – 5y – 10 = 0;
6x – 10y = 20 ⇒ 6x – 10y – 20 = 0
ସମୀକରଣ (1) ଓ (2) ରୁ a1 = 3, b1 = -5, c1 = – 10 ଓ a2 = 6, b2 = –10, c2 = – 20
∴ = = , = , =
ଏଠାରେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ =
∴ ସହସମୀକରଣ ଦ୍ଵୟ ର ଅନେକ ସମାଧାନ ଅଛି l
Question 5.
ଲେଖଚିତ୍ର ଅଙ୍କନ କରି ନିମ୍ନଲିଖିତ ସହସମୀକରଣଦ୍ଵୟର ସମାଧାନ କର ।
(i) x + y – 4 = 0 ଓ x − y = 0
(ii) x − y = 0 ଓ x + y – 2 = 0
(iii) x + y = 0 ଓ – x + Y – 2 = 0
(iv) 2x + y − 3 = 0 6 x + y − 2 = 0
(v) 3x + y + 2 = 0 ଓ 2x + y + 1 = 0
(vi) x + 2y + 3 = 0 ଓ 2x + y + 3 = 0
(vii) 2x + y = 6 = 0 ଓ 2x − y + 2 = 0
(viii)x + y − 1 = 0 ଓ 2x + y − 8 = 0
(ix) 3x + y – 11 = 0 ଓ x – y – 1 = 0
(x) 2x – 3y – 5 = 0 ଓ – 4x + 6y – 3 = 0
(xi) 2x + y + 2 = 0 ଓ 4x – y – 8 = 0
(xii) 3x + 4y – 7 = 0 ଓ 5x + 2y – 7 = 0
ସମାଧାନ:
Process needs to follow:
ଦୁଇ ଅଜ୍ଞାତ ରାଶିବିଶିଷ୍ଟ ଏକଘାତୀ ସମୀକରଣରେ y ର ମାନକୁ x ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କର ।
‘x’ର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମାନକୁ ନେଇ ‘y’ର ଆନୁସଙ୍ଗିକ ମାନ ସ୍ଥିର କର । ଅତି କମ୍ରେ ତିନିଯୋଡା ମାନ ସ୍ଥିର କରିବାକୁ ହେବ ।
ପରବର୍ତୀ ସମୟରେ ତିନିଯୋଡା ମାନକୁ ନେଇ R² ସମତଳରେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥାପନ କର ।
ଏକ ଲେଖଚିତ୍ର (ସରଳରେଖା) ଅଙ୍କନ କର ।
Answer:
Page updated
Google Sites
Report abuse